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买卖股票的最佳时机

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

动态规划
涉及到多个状态 首先画出状态图

Image
我们控制其中三个状态

  • 天数
  • 购买次数
  • 当前股票状态（0为未持有；1为持有）

以无限次购买股票为例

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    int n = prices.length;
    int dp_0 = 0;
    int dp_1 = Integer.MIN_VALUE;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp_0 = Math.max(dp_0, dp_1 + prices[i]);
        dp_1 = Math.max(dp_1, dp_0 - prices[i]);
    }

    return dp_0;

/**
执行用时 :3 ms, 在所有 Java 提交中击败了10.65%的用户
内存消耗 :42.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了5.01%的用户
本题可以不必使用DP以达到更快的速度
*/

该例中由于无限次购买可以省略购买次数
dp_0的含义为：当前未持有股票
其只能由dp_0保持不变或dp_1出售得来选取最大值

其中base case（最简单的情况）的赋值：

  • 一开始未持有的状态为0；
  • 一开始持有的状态不可能存在故赋值最小值

在该题中

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    int n = prices.length;
    int dp_2_0 = 0;
    int dp_2_1 = Integer.MIN_VALUE;
    int dp_1_0 = 0;
    int dp_1_1 = Integer.MIN_VALUE;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp_1_1 = Math.max(dp_1_1, - prices[i]);     // !!! - prices[i]
        dp_1_0 = Math.max(dp_1_0, dp_1_1 + prices[i]);
        dp_2_1 = Math.max(dp_2_1, dp_1_0 - prices[i]);
        dp_2_0 = Math.max(dp_2_0, dp_2_1 + prices[i]);
        
    }
    
    return dp_2_0;

/**
执行用时 :3 ms, 在所有 Java 提交中击败了82.59%的用户
内存消耗 :41.9 MB, 在所有 Java 提交中击败了23.33%的用户
*/
`

由于是第二次售出

注意

  • 第一次直接持有的状态只能是购入股票故其只能从(dp_1_1, - prices[i])中选取最大值
  • 第二次持有因为状态转移只能从第一次未持有转移来故其从(dp_2_1, dp_1_0)中选取最大值

base case（最简单的情况）的赋值：

  • 第一次未持有的状态金额肯定为0；
  • 第一次持有的状态不存在故赋值MIN_VALUE；
  • 第二次未持有的状态赋值0；
  • 第二次持有的状态因为不可能直接持有故赋值MIN_VALUE

Reference
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii